对数均值不等式最简单证明(对数均值不等式的证明及其运用)

4、 对数均值不等式是a>0 ， b > 0，a≠b，有：√ab < (a-b)/(lna-lnb) <(a+b)/2 。 对数均值不等式，又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。 公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

5、 对数的均值不等式是：a>0，b>0，a≠b，有：√ab<(a-b)/(lna-lnb)<(a+b)/2。 如果将基本不等式的2除到左边就是(a+b)/2=sqr(ab)，左边的部分叫做a，b的算术平均，右边的部分叫做a，b的几何平均于是基本不等式，两个正数的几何平均不小于它们的几何平均。

3、 对数均值不等式的证明如下：设f(x)=e^(x-1)– x，f’(x)=e^(x-1)-1；f”(x)=e^(x-1)。 f(1)=0，f’(1)=0，f”(x)>0，所以f(x)在x=1有绝对的最低值。 f(x)=e^(x-1)-x≥f(1)=0。 所以e^(x-1) ≥ x。 (x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a )。

2、 1.当n=2时，对数均值不等式可以直接用算数平均数和几何平均数的关系来证明。 即有：log((x1+x2)/2) ≥ (logx1+logx2)/2 两侧同时取指数，得到：(x1+x2)/2 ≥ √(x1x2)这是算术平均数和几何平均数的关系式，因此原命题成立。 2.当n>2时，可以采用归纳法来证明。

1、 f(1)=0，f’(1)=0，f”(x)>0，所以f(x)在x=1有绝对的最低值。 f(x)=e^(x-1)-x≥f(1)=0。 所以e^(x-1) ≥ x。 (x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a )。 =(x1*x2*x3*…*xn)/a^n ≤ 1。 即(x1*x2*x3*…*xn) ≤ a^n。