数学2023年新高考一卷试题讲解

第一部分：选择题
1. 已知集合A={1, 2, 3}, B={2, 4, 5}, 则A∪B=______.
A. {1, 2, 3, 4, 5}
B. {1, 2, 3, 4}
C. {2}
D. {1, 3}
解析：A∪B表示集合A和集合B的并集，即所有属于A或B或同时属于A和B的元素的集合。 因此，A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
2. 已知函数f(x)=3x+2, 则f(-1)=______.
A. -1
B. 1
C. 5
D. -5
解析：将-1代入函数f(x)=3x+2得f(-1)=3(-1)+2=-3+2=-1。
3. 设M为x轴上一点，N为y轴上一点，若点M到N点的距离为5，则点M和点N的坐标可以是______.
A. (5, 0)和(0, 5)
B. (3, 0)和(0, 4)
C. (-3, 0)和(0, 4)
D. (2, 0)和(0, 3)
解析：点M到点N的距离公式为d=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]。 已知d=5，则有5=√[(x1-0)²+(y1-0)²]。 平方可得x1²+y1²=25。 因此，满足条件的点坐标为(5, 0)和(0, 5)或(3, 0)和(0, 4)或(-3, 0)和(0, 4)。
4. 设a, b是实数，且a²-b²=5，则a²-2ab+b²=______.
A. 0
B. 5
C. 10
D. 15
解析：利用公式a²-b²=(a+b)(a-b)，得a²-b²=5即(a+b)(a-b)=5。 又a²-2ab+b²=(a-b)²，因此a²-2ab+b²=5。
第二部分：填空题
5. 已知函数f(x)=ax²+bx+c，若f(1)=3，f(2)=5，f(3)=9，则a+b+c=______.
解析：将1、2、3代入函数得到方程组：
a+b+c=3
4a+2b+c=5
9a+3b+c=9
解方程组得a=1，b=1，c=1。 因此，a+b+c=3。
6. 已知向量a=(2, -1)，向量b=(x, 1)，若|a+b|=√10，则x=______.
解析：向量a+b=(2+x, -1+1)。 根据向量模的定义，有：
|a+b|=√[(2+x)²+(-1+1)²]
已知|a+b|=√10，因此：
√[(2+x)²+(-1+1)²]=√10
平方可得：
(2+x)²+(-1+1)²=10
解得x=3或x=-1。
第三部分：解答题
7. 求函数f(x)=x³-3x²+2x+1的极值.
解析：求导得f'(x)=3x²-6x+2。 求f'(x)=0得x=2/3或x=1。
当x=2/3时，f(2/3)=(2/3)³-3(2/3)²+2(2/3)+1=1/27。
当x=1时，f(1)=1³-3(1)²+2(1)+1=1。
因此，函数f(x)的极小值为1/27，极大值为1。
8. 已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0和点P(3, 2)。 求点P到圆C的最小距离.
解析：圆C的圆心为(1, -2)，半径为r=3。 点P到圆心的距离d=√[(3-1)²+(2+2)²]=√13。
若点P在圆内：点P到圆的最小距离为0。
若点P在圆上：点P到圆的最小距离为0。
若点P在圆外：点P到圆的最小距离为d-r=√13-3。
因此，点P到圆C的最小距离为0或√13-3。
9. 已知函数f(x)=2sin(x+π/3)-1，求函数f(x)的最大值和最小值.
解析：将函数f(x)变为y=2sin(x+π/3)-1。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
定义域为x∈R。
将函数图象沿x轴平移-π/3得到正弦函数的图象。
因此，函数f(x)的最大值为2-1=1，最小值为-2-1=-3。